Het plaatje klopt volgens mij nog steeds niet. Misschien heb ik het in mijn eerdere posts niet goed uitgelegd. Bij het krachtenevenwicht moet je de krachten aanbrengen die voor diverse situaties op de pen werken en dus niet de krachten die de pen op het gat uitoefent. Er zijn eigenlijk vier situaties. Ik ga er vanuit dat ik een perfecte conische pen heb die in een perfect conisch gat past. Ik ga er ook vanuit dat de pen van zeer hard ebbenhout is en dat de hals van zacht hout is en dat de pen daarom niet vervormt. Alle vervorming treedt dus op in het hout van de hals.
In de eerste situatie zit de pen spelingsvrij in het gat maar worden er nog geen krachten op de pen uitgeoefend.
In de tweede situatie wordt de pen van links naar rechts naar binnen geduwd met een kracht die toeneemt van 0 N tot bijvoorbeeld 50 N. Naarmate de kracht toeneemt schuift de pen steeds dieper in het gat. Dit kan alleen als het gat groter wordt. Het materiaal rond het gat vervormt dus. Deze vervorming veroorzaakt de normaalkrachten Fn1 en Fn2. Tijdens het schuiven ontstaat glijdende wrijving die van rechts naar links werkt.
In de derde situatie wordt een constante drukkracht Fd van 50 N uitgeoefend maar de pen beweegt dan niet meer. Er is nog steeds wrijving maar dit is nu stilstaande wrijving. Voor deze derde situatie zou je een vectordiagram kunnen tekenen. Je hebt dan twee normaalkrachten Fn1 en Fn2 die werken in de richting van de pen. Deze twee normaalkrachten hebben een axiale component Fres die van rechts naar links werkt. De wrijvingskracht heeft een axiale component Fw ax die ook van rechts naar links werkt. De drukkracht Fd werkt van links naar rechts. Omdat er evenwicht van krachten is, geldt dat Fd = Fres + Fw ax.
In de vierde situatie wordt de pen losgelaten en is er dus geen drukkracht meer. De pen blijft in dezelfde stand staan als bij de derde situatie wat inhoudt dat de vervorming van het gat gelijk blijft en dat de twee normaalkrachten daarom niet veranderen. De component Fres verandert daarom ook niet. Maar er moet wel evenwicht van de krachten zijn die op de pen werken. Dit kan alleen als de richting van de wrijvingskracht omkeert en nu dus van links naar rechts werkt. Voor deze situatie zou je ook een vectordiagram kunnen tekenen en hierin werkt Fres dus van rechts naar links en Fw ax van links naar rechts. Er geldt nu dat Fres = Fw ax.
Bij de vierde situatie is Fw ax dus gelijk an Fres. Als we aannemen dat bij de derde situatie Fw ax ook gelijk is aan Fres dan houdt dit in dat Fd dus twee maal zo groot is als Fres.
In mijn eerdere post heb ik al aangegeven dat de normaalkracht eigenlijk opgebouwd is uit een oneindig aantal kleine krachtjes die radiaal naar binnen gericht zijn over 360° van de pen maar dat je voor het vectordiagram mag aannemen dat er in één vlak twee krachten Fn1 en Fn2 overblijven. Als de hals van een homogeen materiaal gemaakt zou zijn dan zouden de oneindig kleine krachtjes overal even groot zijn wat als gevolg heeft dat de druk op de pen overal even groot is. De hals is echter niet van een homogeen materiaal maar van hout en hout heeft een nerf die ongeveer in de lengterichting van de hals loopt. Voor een bepaalde vervorming dwars op de nerf is een veel geringere kracht nodig dan voor dezelfde vervorming in de richting van de nerf. Er zal daarom een behoorlijk variatie in de drukverdeling op de pen zitten als je 360° rond gaat. Hout is ook veel minder sterk dwars op op de nerf dan in de richting van de nerf en als je de pin te hard in het gat duwt dan splijt het hout over de nerf.
Dit probleem is op te lossen door de wandikte van de hals de helft te maken maar aan de binnenkant een even dikke strook hout te lijmen waarvan de nerf haaks staat op die van de hals. Ik begrijp eigenlijk niet waarom dit op de duurdere violen niet standaard zo gedaan wordt. Het is wel een bekende manier om een hals te repareren die rond het gat gebarsten is maar voorkomen is beter dan genezen.
Als het er om gaat om de optimale geometrie van de pen te bepalen dan is de kegelhoek belangrijk. De kegelhoek van de pen moet zo klein zijn dat de wrijvingskracht voor de vierde situatie minstens gelijk is aan Fres. Je kunt deze hoek alleen berekenen als je de wrijvingscoëfficiënt voor stilstaande wrijving tussen de pen en het hout van de hals kent. Stel je kent deze wrijvingscoëffciënt. Je berekent dan de wrijvingskracht haaks op de normaalkracht en bepaalt daarvan vervolgens de axiale component. Bij een kleine kegelhoek is deze axiale component bijna gelijk aan de wrijvingskracht haaks op de normaalkracht. Je vindt op deze manier een bepaalde kegelhoek. In werkelijkheid moet je de kegelhoek nog wat kleiner nemen dan de berekende waarde omdat er ook nog een tangentiële wrijving opgewekt moet worden die moet voorkomen dat de pen terugdraait als gevolg van het moment dat de snaarkracht levert.
Een ander aspect van de optimale geomtrie is dat je moet voorkomen dat de vlaktedruk tussen pen en gat te groot wordt bij een normale drukkracht van bijvoorbeeld 50 N. Het contactoppervlak hangt af van de pendiameter en van de dikte van de wangen van de hals. Bij bepaalde waarden van Fn1 en Fn2 neemt het wrijvingsmoment evenredig toe met de diameter. Het snaarmoment neemt echter ook evenredig toe met de diameter en een dikkere pen loopt daardoor even gemakkelijk terug als een dunne pen. Maar de vlaktedruk van een dikke pen is wel lager bij een bepaalde dikte van de wang van de hals. Het moment dat je moet leveren om een bepaalde snaar bij een dikke pen te spannen is ook hoger dan bij een dunne pen en boven een bepaalde waarde wordt dit onhandig.
Als de vlaktedruk te hoog is zal er snel slijtage van het gat optreden en ook van de pen als deze niet van ebbenhout gemaakt is. Elke keer dat je de pen onder druk verdraait zal er slijtage optreden. Je kunt daarom de pennen het beste zo min mogelijk verdraaien en de snaren met fijnstemmers stemmen. Ik kan me voorstellen dat het mogelijk is om de pen niet van hout maar van bijvoorbeeld aluminium te maken. Het lijkt mij dat je de pen niet van een kunststof kunt maken omdat daarvoor de wrijvingscoëfficiënt te laag zal zijn.
In de eerste situatie zit de pen spelingsvrij in het gat maar worden er nog geen krachten op de pen uitgeoefend.
In de tweede situatie wordt de pen van links naar rechts naar binnen geduwd met een kracht die toeneemt van 0 N tot bijvoorbeeld 50 N. Naarmate de kracht toeneemt schuift de pen steeds dieper in het gat. Dit kan alleen als het gat groter wordt. Het materiaal rond het gat vervormt dus. Deze vervorming veroorzaakt de normaalkrachten Fn1 en Fn2. Tijdens het schuiven ontstaat glijdende wrijving die van rechts naar links werkt.
In de derde situatie wordt een constante drukkracht Fd van 50 N uitgeoefend maar de pen beweegt dan niet meer. Er is nog steeds wrijving maar dit is nu stilstaande wrijving. Voor deze derde situatie zou je een vectordiagram kunnen tekenen. Je hebt dan twee normaalkrachten Fn1 en Fn2 die werken in de richting van de pen. Deze twee normaalkrachten hebben een axiale component Fres die van rechts naar links werkt. De wrijvingskracht heeft een axiale component Fw ax die ook van rechts naar links werkt. De drukkracht Fd werkt van links naar rechts. Omdat er evenwicht van krachten is, geldt dat Fd = Fres + Fw ax.
In de vierde situatie wordt de pen losgelaten en is er dus geen drukkracht meer. De pen blijft in dezelfde stand staan als bij de derde situatie wat inhoudt dat de vervorming van het gat gelijk blijft en dat de twee normaalkrachten daarom niet veranderen. De component Fres verandert daarom ook niet. Maar er moet wel evenwicht van de krachten zijn die op de pen werken. Dit kan alleen als de richting van de wrijvingskracht omkeert en nu dus van links naar rechts werkt. Voor deze situatie zou je ook een vectordiagram kunnen tekenen en hierin werkt Fres dus van rechts naar links en Fw ax van links naar rechts. Er geldt nu dat Fres = Fw ax.
Bij de vierde situatie is Fw ax dus gelijk an Fres. Als we aannemen dat bij de derde situatie Fw ax ook gelijk is aan Fres dan houdt dit in dat Fd dus twee maal zo groot is als Fres.
In mijn eerdere post heb ik al aangegeven dat de normaalkracht eigenlijk opgebouwd is uit een oneindig aantal kleine krachtjes die radiaal naar binnen gericht zijn over 360° van de pen maar dat je voor het vectordiagram mag aannemen dat er in één vlak twee krachten Fn1 en Fn2 overblijven. Als de hals van een homogeen materiaal gemaakt zou zijn dan zouden de oneindig kleine krachtjes overal even groot zijn wat als gevolg heeft dat de druk op de pen overal even groot is. De hals is echter niet van een homogeen materiaal maar van hout en hout heeft een nerf die ongeveer in de lengterichting van de hals loopt. Voor een bepaalde vervorming dwars op de nerf is een veel geringere kracht nodig dan voor dezelfde vervorming in de richting van de nerf. Er zal daarom een behoorlijk variatie in de drukverdeling op de pen zitten als je 360° rond gaat. Hout is ook veel minder sterk dwars op op de nerf dan in de richting van de nerf en als je de pin te hard in het gat duwt dan splijt het hout over de nerf.
Dit probleem is op te lossen door de wandikte van de hals de helft te maken maar aan de binnenkant een even dikke strook hout te lijmen waarvan de nerf haaks staat op die van de hals. Ik begrijp eigenlijk niet waarom dit op de duurdere violen niet standaard zo gedaan wordt. Het is wel een bekende manier om een hals te repareren die rond het gat gebarsten is maar voorkomen is beter dan genezen.
Als het er om gaat om de optimale geometrie van de pen te bepalen dan is de kegelhoek belangrijk. De kegelhoek van de pen moet zo klein zijn dat de wrijvingskracht voor de vierde situatie minstens gelijk is aan Fres. Je kunt deze hoek alleen berekenen als je de wrijvingscoëfficiënt voor stilstaande wrijving tussen de pen en het hout van de hals kent. Stel je kent deze wrijvingscoëffciënt. Je berekent dan de wrijvingskracht haaks op de normaalkracht en bepaalt daarvan vervolgens de axiale component. Bij een kleine kegelhoek is deze axiale component bijna gelijk aan de wrijvingskracht haaks op de normaalkracht. Je vindt op deze manier een bepaalde kegelhoek. In werkelijkheid moet je de kegelhoek nog wat kleiner nemen dan de berekende waarde omdat er ook nog een tangentiële wrijving opgewekt moet worden die moet voorkomen dat de pen terugdraait als gevolg van het moment dat de snaarkracht levert.
Een ander aspect van de optimale geomtrie is dat je moet voorkomen dat de vlaktedruk tussen pen en gat te groot wordt bij een normale drukkracht van bijvoorbeeld 50 N. Het contactoppervlak hangt af van de pendiameter en van de dikte van de wangen van de hals. Bij bepaalde waarden van Fn1 en Fn2 neemt het wrijvingsmoment evenredig toe met de diameter. Het snaarmoment neemt echter ook evenredig toe met de diameter en een dikkere pen loopt daardoor even gemakkelijk terug als een dunne pen. Maar de vlaktedruk van een dikke pen is wel lager bij een bepaalde dikte van de wang van de hals. Het moment dat je moet leveren om een bepaalde snaar bij een dikke pen te spannen is ook hoger dan bij een dunne pen en boven een bepaalde waarde wordt dit onhandig.
Als de vlaktedruk te hoog is zal er snel slijtage van het gat optreden en ook van de pen als deze niet van ebbenhout gemaakt is. Elke keer dat je de pen onder druk verdraait zal er slijtage optreden. Je kunt daarom de pennen het beste zo min mogelijk verdraaien en de snaren met fijnstemmers stemmen. Ik kan me voorstellen dat het mogelijk is om de pen niet van hout maar van bijvoorbeeld aluminium te maken. Het lijkt mij dat je de pen niet van een kunststof kunt maken omdat daarvoor de wrijvingscoëfficiënt te laag zal zijn.
