Als je het in hoofdstuk 3 vermelde systeem gebruikt heb je geen herstellingstekens nodig. Als je eerst een C speelt en daarna een Cis en daarna weer een C dan wordt de C op de normale manier genoteerd als een bolletje, de Cis als een driehoek met de punt omhoog maar op dezelfde plaats in de balk en de C daarna weer als een bolletje. Als je dit systeem toepast heb je dus ook geen voortekens meer voor aan de balk. De toonaard kan door ervaren spelers normaal direct aflezen aan het aantal voortekens. Als er vier kruizen staan dan staat het stuk in E of in Cis m. Maar in plaats van vier kruizen kun je de toonaard ook meteen eenmalig vooraan het stuk vermelden vermelden als E of Cis m. Dubbelkruizen of dubbelmollen vervallen omdat daarvoor de corresponderende wittetoetstoon gebruikt wordt.
Ik zal eens proberen om duidelijk te maken waarom volgens mij de dubbele toonnamen met een is- of een es-uitgang voor de zwartetoetstonen geen eenduidig informatie geven over de vereiste intonatie om de toon bij de harmonische stemming zuiver te kunnen spelen. Daarvoor is kennis van de harmonische stemming nodig. Die wordt uitgebreid gegeven in Wikipedia. Daarvan zal ik nu een zo compact mogelijke samenvatting geven.
Bij de harmonische stemming zijn de frequenties van de tonen afgeleid van de hogere harmonischen. Als een snaar trilt, produceert die niet alleen een grondtoon ofte wel eerste harmonische maar ook gelijktijdig nog een hele reeks hogere harmonischen. De frequentie f van deze hogere harmonische is evenredig met het rangnummer van de harmonische. Als de eerste harmonische een frequentie heeft van 1 Hz dan heeft de tweede harmonische een frequentie van 2 Hz, de derde harmonische een frequentie van 3 Hz, enz.
Stel nu eens dat de eerste harmonische een A is met een frequentie van 440 Hz. Welke tonen kunnen dan afgeleid worden uit de eerste twaalf hogere harmonischen? Om de tonen goed van elkaar te kunnen onderscheiden geef ik eerst het rangnummer van de harmonische gevolgd door de naam van de toon en ik bereken ook de bijbehorende frequentie. Je krijgt dan het volgende lijstje:
1A, f = 440 Hz
2A, f = 880 Hz
3E, f = 1320 Hz
4A, f = 1760 Hz
5Cis, f = 2200 Hz
6E, f = 2640 Hz
(7G), f = 3080 Hz
8A, f = 3520 Hz
9B, f = 3960 Hz
10Cis, f = 4400 Hz
(11Dis), f = 4840 Hz
12E, f = 5280 Hz
De 7G en de 11Dis zijn aanmerkelijk te laag en worden daarom niet gebruikt en staan daarom tussen haakjes. Voor nog hogere harmonischen dan de twaalfde, komen er steeds meer harmonischen bij die erg vals zijn en daarom niet gebruikt kunnen worden voor de naamgeving van de tonen. Uit het bovenstaande lijstje kunnen een aantal tonen afgeleid worden die liggen tussen een A van 440 Hz en een A van 880 Hz. Hierbij geldt dat een toon dezelfde naam houdt als de frequentie gehalveerd wordt. Dit is in het lijstje duidelijk te zien aan de 8A, de 4A, de 2A en de 1A en aan de 12E, de 6E en de 3E. In het volgende lijstje heb ik de tonen aangegeven die afgeleid kunnen worden uit het eerste lijstje en die lopen van een A van 440 Hz tot een A van 880 Hz. De vijf gegeven tonen zijn allemaal grondtonen met ieder zijn eigen reeks hogere harmonischen en zij hebben daarom geen rangnummer.
A, f = 440 Hz
B, f = 495 Hz
Cis, f = 550 Hz
E, f = 660 Hz
A, f = 880 Hz
We vinden op deze manier dus de drie tonen B, Cis en E met de bijbehorende frequenties die liggen tussen de A van 440 Hz en de A van 880 Hz. Voor de overige tonen wordt in Wikipedia ook aangegeven hoe daarvan de frequenties bepaald worden maar de afleiding daarvan zou op dit forum te ver gaan en ik kan ook niet zeggen dat ik dat allemaal goed gesnapt heb. Voor de harmonische stemming hangt het voor de frequenties van alle chromatische tonen uit een octaaf dus af van de frequentie die voor de grondtoon gekozen wordt. De harmonische stemming voor een grondtoon A = 440 Hz is het meest gangbaar maar elk van de twaalf chromatische tonen kan als grondtoon gekozen worden. Daardoor heb je twaalf harmonische stemmingen. Voor elke stemming heeft een bepaalde toon een iets andere frequentie en daarom kun je uit de naam van de toon niet aflezen hoe hoog de frequentie moet zijn en hoe je dus moet intoneren om zuiver te spelen
Een piano kan maar in één harmonische stemming gestemd worden en als de grondtoon daarvan A is dan kun je in A daarop zeer zuiver spelen maar voor elke kruis of mol die er bij komt komt er ook een zeer onzuivere toon bij. In As en Bes is deze piano dan ook zeer onzuiver. Op een viool kun je elke toon grondtoon maken en daarom kun je op een viool wel in twaalf harmonische stemmingen zuiver spelen.
De vraag blijft hoe nu hoe je wel zuiver kunt intoneren in de harmonische stemming als je daarvoor geen gebruik kunt maken van de naam van de toon. Ik zal me bij het antwoord op deze vraag beperken tot het zuiver spelen van een reine kwint. Als er twee tonen gelijktijdig gespeeld worden dan kun je daarbij een zweving horen. De frequentie van de zweving is gelijk aan het verschil van de beide frequenties. Als je dus op het ene instrument een A speelt van 440 Hz en op het andere instrument een A van 441 Hz dan hoor je een zweving met een frequentie van 1 Hz. Je kunt ook zwevingen horen tussen hogere harmonischen. Stel je speelt gelijktijdig een A van 440 Hz en een E van 660 Hz. De derde harmonische van de A heeft dan een frequentie van 3 * 440 = 1320 Hz en is een E. De tweede harmonische van de E heeft dan een frequentie van 2 * 660 = 1320 Hz en is dus ook een E. Omdat beide frequenties precies aan elkaar gelijk zijn hoor je dus geen zweving in de tamelijk lage gemeenschappelijke hogere harmonischen. Dit wordt door het menselijk oor als zuiver ervaren en daarom wordt de kwint ook rein genoemd.
Je moet dus bij de harmonische stemming zo intoneren dat je bij reine kwinten geen zweving hoort. Dit geldt ook voor reine kwarten. Daarvoor gaat het om de zweving tussen de vierde harmonische van de laagste toon en de derde harmonische van de hoogste toon. Het geldt in beginsel ook voor grote en kleine tertsen maar daarvoor kunnen de frequenties van de zweving al zo hoog zijn dat de zweving niet meer kan worden waargenomen.
Voor de gelijkzwevende stemming geldt dat de verhouding tussen alle halvetoonsafstanden gelijk is aan twee tot de macht één twaalfde = 1,059463. De verhouding tussen een reine kwint is dan twee tot de macht zeven twaalfde is 1,498307. Dit is dus niet precies gelijk aan een factor 1,5 en daarom hoor je bij een kwint in de gelijkzwevende stemming een zweving tussen de derde hogere harmonische van de laagste toon en de tweede hogere harmonische van de hoogste toon. De frequenties kunnen berekend worden op elke rekenmachine die een functie x tot de macht y heeft en waarvoor dus elke waarde van x en y kan worden ingevoerd. Eigenlijk is gelijkzwevende stemming geen goed naam. Het zou evenredig zwevende stemming moeten zijn omdat de frequentie van de zweving hoger wordt naarmate de tonen hoger zijn.
